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什么是拓撲學

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我來答 我要提問 發(fā)布 2022-08-16 回復 1 點擊 1055

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    2022-08-16

    拓撲學是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質的學科，它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲學里，重要的拓撲性質包括連通性與緊致性。拓撲英文名是Topology，直譯是地志學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。拓撲學是由幾何學與集合論里發(fā)展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些詞匯的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茨，他在17世紀提出“位置的幾何學”和“位相分析”的說法。萊昂哈德-歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數(shù)被認為是該領域最初的定理。拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現(xiàn)了，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。

    拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數(shù)量關系都無關。

    補充材料：

    一、拓撲學的子領域：

    拓撲學的分支學科包括點集拓撲學、代數(shù)拓撲學、微分拓撲學、幾何拓撲學，具體介紹如下：

    1、一般拓撲學建立拓撲的基礎，并研究拓撲空間的性質，以及與拓撲空間相關的概念。一般拓撲學亦被稱為點集拓撲學，被用于其他數(shù)學領域（如緊致性與連通性等主題）之中。

    2、代數(shù)拓撲學運用同調與同倫群等代數(shù)結構量測連通性的程度。

    3、微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數(shù)，與微分幾何密切相關，并一齊組成微分流形的幾何理論。

    4、幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為“低維拓撲學”，研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括“紐結理論”，研究數(shù)學上的紐結。

    二、拓撲學的學科起源：

    有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現(xiàn)了。那時候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題。后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。譬如哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發(fā)展史的重要問題。

    拓撲學建立后，由于其它數(shù)學學科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓撲學概念作為分析函數(shù)論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關于任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。

    因為大量自然現(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓撲學具有廣泛聯(lián)系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數(shù)關系。二十世紀三十年代以后，數(shù)學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究曲線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯(lián)系。1945年，美籍中國數(shù)學家陳省身建立了代數(shù)拓撲和微分幾何的聯(lián)系，并推進了整體幾何學的發(fā)展。

    拓撲學發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的，叫做代數(shù)拓撲。現(xiàn)在，這兩個分支又有統(tǒng)一的趨勢。拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程和其他許多數(shù)學分支中都有廣泛的應用。

    三、拓撲學的學科簡介：

    Topology原意為地貌，起源于希臘語Τοπολογ。形式上講，拓撲學主要研究“拓撲空間”在“連續(xù)變換”下保持不變的性質。簡單的說，拓撲學是研究連續(xù)性和連通性的一個數(shù)學分支。拓撲學起初叫形勢分析學，是德國數(shù)學家萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀中期，德國數(shù)學家黎曼在復變函數(shù)的研究中強調研究函數(shù)和積分就必須研究形勢分析學。從此開始了現(xiàn)代拓撲學的系統(tǒng)研究。拓撲學研究的是幾何形體在連續(xù)形變，精確地說，雙方一一而且雙方連續(xù)的變換（稱為同胚）之下保持不變的性質。簡言之些，拓撲學是研究數(shù)學中連續(xù)性現(xiàn)象的學科。最典型拓撲學研究對象便是DNA的雙螺旋結構。

    四、拓撲學的學科影響：

    連續(xù)性與離散性這對矛盾在自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象中普遍存在著，數(shù)學也可以粗略地分為連續(xù)性的與離散性的兩大門類。拓撲學對于連續(xù)性數(shù)學自然是帶有根本意義的，對于離散性數(shù)學也起著巨大的推進作用。例如，拓撲學的基本內容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學工作者的常識。拓撲學的重要性，體現(xiàn)在它與其他數(shù)學分支、其他學科的相互作用。拓撲學在泛函分析、實分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數(shù)學分支中都有廣泛的應用。

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湯歆

環(huán)俄留學首席顧問、高級培訓講師、顧問部總監(jiān)

圣彼得堡國立大學教育學學士、社會心理學碩士，2011年圣彼得堡國立大學優(yōu)秀畢業(yè)生，2017年入圍出國留學中介行業(yè)領軍人物。

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